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如何证明逻辑本身是正确的?

归档日期:06-15       文本归类:蕴含谓词      文章编辑:爱尚语录

  我们在分析问题的时候,一般是需要通过逻辑推理得到结论。那么,我们是如何知道,并且坚信逻辑的正确性呢?然而,当我们试图去证明逻辑的正确性的时候,却发现我们证明的方式,仍然是用了逻辑的。这种用“A来证明A”的证明显然是荒谬的。既然这样,那么,我们通过何种方式才能确信逻辑的正确性?为什么人们对这件事情没有丝毫的怀疑,就这样无条件的相信了它?或者说逻辑是真正的本源所以才无法证明其正确?= = 我在反思着我至今…

  所谓科学的陈述方式,比较公允的定义就是,其存在能被经验证伪的可能。比如我基于经验,得出了“全世界的天鹅都是白色的”这个结论,那么这个陈述就是科学的。虽然我们已经知道这个陈述是错的,但不妨碍其是一个科学的陈述。因为其存在被证伪的肯能,只要能找到一只黑天鹅就能将其证伪。

  而“逻辑必然是正确的”这个陈述就不是科学的,因为不存在将其证伪的可能。

  人们不理解的一些现象,首先想到求助科学来解释。换言之,科学为这个世界的秩序辩护。可是科学只是这个世界最直接的解释,再往前进,科学就失效了。

  比如科学的各种定律(例如牛顿三大定律)就是用数学的语言对世界运行秩序的解释,并且取得了相当的成功。

  但是科学的定律都是依靠一些公理,比如几何学的所有定理都是建立在“过两点有且只有一条直线”,“两点间直线最短”等寥寥几条公理推论而出。换言之整个几何学,皆是这几条公理的分析知识。

  但是继续追问这些公理(所谓的综合知识)何以可能,何以正确,就非科学方法所能办到了。

  所以我们才需要形而上、需要哲学,来解决“逻辑必然正确”此类问题,而不是靠科学的证明方式。

  接上文,那些几何学公理永远不能通过科学的方式,也就是说通过经验归纳总结而出。

  凭什么“两点见直线最短”是公理,也就是说凭什么说他永远正确?经验永远不能解决这个问题,因为他随时面临被经验推翻的可能。

  “逻辑必然正确”也一样,虽然我们都深信这一点,可是究竟是什么让我们对这一点如此深信不疑?

  人类所有知识皆由先验(先于经验的、主观的)的部分与经验的部分(客观的)结合而成。

  人类观察、理解世界时,意识中所呈现出的世界并不是这个世界像镜子一样简单的镜像,而是经过了人类先验思维结构的加工。或者说经过了思维结构的过滤。

  最终意识中呈现出的是世界原本的样子对意识的刺激(经验的)+思维结构的整理(先验的),是这个世界的表象,而不仅仅是世界原本的样子(物自体)。

  我们发现的那些公理,皆是我们理解这个世界时思维结构的整理方式,是我们表象这个世界时一开始就人为的、主观的放进这个世界中去的。

  那些科学解决不了的问题皆是属于知识的先验部分,是我们这个表象世界的主观部分。

  「逻辑」本身没法自证;不过人们设计了很多逻辑系统(比如 CIC 对传统的数学逻辑)并且证明了它们之间的等价性,那么如果逻辑本身 unsound,人类的整个数学就崩塌了,所以我们还是相信逻辑是对的吧。

  我们想要到达一个地方,首先要确定那个地方的位置和方向,然后选择一条正确的道路,朝着正确的方向前进。如果我们走错了方向,却还不停地加快前进的速度,那么我们只会离目的地越来越远。做事也是同样的道理。

  在麦肯锡的原则中有一条是,发现正确的问题,然后做正确的事,并且正确地做事。想要做正确的事,首先要明确自己的目标是什么,真正的问题又在哪里。这里我们所说的目标不可以是笼统的、模糊的,比如赚很多钱,或者有很高的地位之类,而应该是准确的、清晰的,比如将自己的公司打造成为全球知名品牌,或是让自己成为全球排名前五百强之内的企业家。以学习为例,如果目标只是为了应付考试,及格即可,那么学生在学习的过程中会将重点放在知识点的记忆上,而如果目标是真正地学到知识,那么学生在学习的过程中就会更加重视理解和思考。

  按照麦肯锡的原则,在做一件事前,我们必须先发现问题在哪里,并且确定我们所做的事是正确的,然后才是用正确的方式去做这件事。麦肯锡接触过的客户中,有些人的问题便是在于他们连自己的目标是什么都不确定。这些人只会一味地问「我该怎么办」,而不去思考自己究竟想要在哪一个领域或哪一件事情上有所发展。他们眼中关注的只是薪水的金额,而不是个人能力是否能够得到提升,更不会为自己的将来做打算。对于这样的人,麦肯锡不会给他们任何建议,因为实在没有建议能够真正帮到他们。

  还有一些时候,去麦肯锡寻求帮助的客户心中并非没有目标,然而他们所选择的目标却是错误的,是无法实现的,只是他们自己没有意识到这一点。出现这种情况主要是因为客户们无法对自己选择的事情有一个正确的判断。就好比一个不了解电脑构造和原理的人,突然遇到电脑无法开机的情况,便打电话给维修人员,要求维修人员给他换一个电源。在他看来,可能是电脑的电源坏了,无法供电,而维修人员经过检测,发现其实是他电脑的主板出现了问题。

  在麦肯锡的逻辑思维中,对于想要成事的人来说,最首要的任务就是确定自己要做的事是正确的。然而如何才能确定它是否正确呢?理性接受度是一个关键性的标准。

  理性接受度包括两个方面,一方面是以人为主的理性接受度,另一方面是以论证为主的理性接受度。不同的人理性接受度不同,所以他们在进行判断时,得出的结论也不同。越是具有理性的人,越容易准确判断出什么事情是正确的、应该做的;相反,那些不够理性的人在判断事情正确与否时,往往没有头绪,出现偏差,或做出错误的判断。

  同样的一件事,理性接受度强的人一定比理性接受度弱的人更容易看清其本质。这是因为理性接受度弱的人会在判断时加入自己的情感和情绪,从而影响他们的判断结果。一位理性接受度较弱的管理者在挑选项目负责人时,可能因为能力最强的员工曾经当面顶撞过他而不用此人,改用态度良好但能力相对弱一些的员工。若是管理者的理性接受度强,那么即使自己仍然对此人的言行心存不满,也同样会认可此人的能力,并从顾全大局的角度出发,任命此人为项目负责人。

  对于理性接受度较弱的人来说,冲动和情绪化总是难免的,而冲动和情绪化又会极大程度地影响他们的判断。所以很多理性接受度较弱的人时常会感到头脑一片混乱,无法清楚地思考和判断。对于这些人,麦肯锡资深顾问奥姆威尔提醒他们,如果暂时无法确定自己要做的事是否正确,那么就不要着急,以免在错误的道路上越走越远。

  然后我们再从论证的角度去看理性接受度。在这方面,理性接受度主要指的是论证是否具备逻辑关联性和理由的支持,即是否能够令人从理性的角度接受。当前提与结论之间具备较强的逻辑关系时,论证的理性接受度较高;当前提与结论之间具备较弱的逻辑关系时,论证的理性接受度较低;当前提与结论之间毫无逻辑关系时,论证不具有理性接受度。

  在这个论证中,「受寒易导致感冒的发生」是前提,「天冷时人们应该多穿衣服」是结论。前提与结论之间逻辑关系密切,所以此论证的理性接受度较高。

  (2)汤米所在班里的学生都成绩优异,每次年级考试都能排进前 100 名,所以我们可以推断,汤米每次年级考试都能排进前 100 名。

  在这个论证中,前提和结论也有着很强的逻辑关联,如果前提是真的,那么结论就一定是真的,所以此论证的理性接受度较高。

  但若是论证中的前提和结论逻辑关联较弱,前提是真的,结论也不一定是真的,比如「汤米每次年级考试都能排进前 100 名,他班上的温蒂和西蒙也是如此,由此可以推断,汤米所在班里的学生每次年级考试都能排进前 100 名」,这个论证的理性接受度就比较低。

  在这个论证中,前提和结论之间毫无逻辑关联,我们无论遵循什么原理都无法根据前提推断出结论,所以此论证完全不具有理性接受度。

  发现正确的问题之后是做正确的事。这一理念同样适用于企业管理。企业的发展需要经历一系列的过程,这一过程中包含着多个环节,任何一个环节出错都会对企业造成不可挽回的影响,轻则导致资金上的损失,重则导致整个企业链瘫痪。特别需要注意的是,一旦所做的事情是错误的,那么做的时候越投入,事情完成得越完美,造成的损失也就越大。

  以建筑业为例,有一位施工队长命工人们在一块地面上建一根三十米的烟囱,工期两个月。工人虽然感到诧异,却也没有多问,一起认真地干了起来。两个月后,烟囱建好了。然而当有人来验收工程时,他们才知道施工队长下达的命令是错的。对方想要的是一口三十米深的水井,而不是一根三十米高的烟囱。如此一来,他们不但拿不到工钱,还要多花大量的时间将烟囱拆掉,并且无偿为对方打一口井。除此之外,整个施工队还要因为耽误工期而支付高额的赔偿。

  再举个例子,20 世纪 70 年代,飞利浦公司发明了盒式磁带,使盒式磁带录音机快速成为各个家庭必不可少的物件。然而随着时代的发展,盒式录音机渐渐被淘汰,人们开始对小巧便携的录音笔产生了兴趣。此时,曾以生产盒式磁带录音机闻名的企业若是继续大量生产盒式磁带录音机,即使生产出的录音机造型更加美观,质量更好,也仍然会滞销。而且,生产效率越快,生产的数量越多,损失就会越大。

  按照麦肯锡的建议,确定自己所做的事是正确的之后,接下来则是要用正确的方式去做。仍以学习为例,如果学生想要在考试中取得好的成绩,就应该将时间和精力用于努力学习书本上的知识,以及课后认真复习上,而不是将时间和精力都用在如何作弊才能不被发现上。

  谈到正确地做事,不得不谈到执行力。就个人而言,执行力表现为一个人办事的能力;就企业而言,执行力表现为经营能力。企业的执行力与团队中每个人的执行力都有关。一个团队中每个人都有执行力,团队才能有执行力,企业才能有执行力。简单来说,执行力就是行动力,执行力越强,说明行动效率就越高,实现目标的概率也就越大。当然,这也是建立在做正确的事的基础上的。

  无论个人还是企业,想要正确地做事,就必须具备有效的执行力。何为有效的执行力?麦肯锡认为,有效的行动力是在清楚目标之后,所做的真正对达成目标有帮助的行动力。有效的行动力可以及时纠正过程中一些小错误,处理好突发情况,分清主次,合理分配好时间,兼顾功能和效率,确保行动的进行。

  用理性接受度去判断逻辑思维正确与否,然后发现正确的问题,做正确的事,正确地做事,想要达到预期的目标也就不是难事了。

  其实,解答也是暴力的,同时也是美的。那就是:人们不得不约定几个“公理”并在此基础上讨论整个逻辑学。三个约定的公理是:

  2、(A-(B-C))-((A-B)-(A-C))

  对象属于科学领域的逻辑,大多都是跟实际有关系的。这里有两种关系可以在一定程度上证明逻辑:一是先有假设,然后发现实际经验不与假设相违背;二是先有实际经验,再从其中概括出理论。对这种逻辑的怀疑一是经验主义的(就是@镜湖月提到的那种怀疑),二是诉诸逻辑本质的(对于“不证自明”的命题的正确性的怀疑,比如眼见是否为实)。这是大家提到的,我再说自己的两个怀疑:

  这是说,文化和社会的现状、传统会不会影响到逻辑。特定的文化环境会产生特定的前提,按照洛夫乔伊的说法,这是一种单元-观念。比如@棋规与判定说:

  如果仅从字面意义理解后半句,这里至少显然包含“我们看到的东西都是真的”;“我们的感觉不会出错”这两个前提,然而这两个前提是被证明了的吗?我们不可能把所有命题的证明都还原到三段论这种最基础的形式上去,这就意味着很可能有一些前提被我们不加审视地漏掉了:在此之前,大家都认为某个前提是显而易见的,因此这个前提不出现在论证之中,因为它根本不被注意(有时“某国出生/祖籍在某国的公民对该国负有(某种程度的)责任”就是这样一种东西,只有这样“作为X国(来的/长大的/出生的)人,你的立场应该是XXX”这一类的话才站得住脚),后来一个人提出了怀疑(甚至可能是反对,比如提出“但是我已经是外籍,我不对这一国家负有责任”),于是才有对此的思考。

  那么数理逻辑呢?难道它不是最严谨的形式吗?或者如果我们把所有逻辑行为都还原到三段论呢?但是即使这样,我们依然要面临一个问题:逻辑和人的关系。这也就涉及到逻辑的定义:我们所研究的对象——逻辑,是一个自成一体的独立的东西呢?还是一种依赖人这个物种(或者其他有逻辑能力的生物,下面不再重复这一点)而存在的东西?也就是说,当人类开始使用逻辑时,他们是发现了逻辑,还是发明了逻辑?

  还是回到那个“不证自明”的说法上来。要知道某个东西是不证自明的,就表示一定有某种能力在起作用——也许可以称之为“直觉”。比如很小的、没有数字概念的婴儿,就不会认为“一个苹果和另一个苹果放在一起是比一个苹果多的”这个命题是不证自明的。有一些逻辑过程是所有“心理正常”的人都会同意的,而对于有William Syndrome(脑部与常人相异)的人来说,就完全无法理解。推而广之,可能有一些逻辑过程只有人类大脑才认为是“不证自明”的,但正是因为我们文明的参与者只有人类,所以这些“不证自明”的“直觉”一次又一次地被验证——极端地说,也就是存在一种完全自洽的人类思想体系,而这个体系就是所谓的真理——这样说来,被我们认为是严谨的那些逻辑过程,比如三段论,究竟会把我们引向自然的,还是人类的真理?

  题主的问题还有一个方面:用逻辑研究逻辑究竟意味着什么。这方面我没有好好想过,但是胡塞尔那段时期有过逻辑是“心理学的、工艺论的”还是“独立的、理论的”这种争端,那时的著作应该有很多是从哲学角度探讨逻辑学这个学科的,因此肯定会涉及到这样的问题,也许可以看看。

  题主的问题也是我最近开始想,以后也希望继续想下去的问题;如果题主找到了什么好的资料,或者有了想法,万望告知,不甚感谢!

  有了这两个东西,我们就可以讨论一些具体的逻辑系统了。比如一个一阶谓词逻辑系统,它的公设是对任意手机X,都有“X有屏幕而且X的屏幕是圆的”命题成立(我们叫它公设1)。那么在这个逻辑系统里,根据刚才介绍的一阶谓词逻辑的推导规则,如果iphone是一种手机,从公设1我们就有推论iphone有屏幕而且iphone的屏幕是圆的。这个推论的来源不是生活常识,不是经验,不是“逻辑”,而是我们在这个逻辑系统里面明确定义的一个规则/假设。

  如果回到你最初的问题,我们生活中常用的逻辑系统到底是不是自洽呢?这个没有答案,因为我们平时虽然常用一阶谓词逻辑作为演绎系统(定义中的第二部分),但大家的公设/前提部分(定义的第一部分)往往都是不同的,所以讨论中经常出现鸡同鸭讲的情况,吵了半天发现大家都深陷curse of knowledge,有一些自己以为天经地义的东西在别人的逻辑系统里其实根本就不是公设。这也算是形式逻辑对生活少有的指导意义吧(笑)。

  一个有意思的冷知识是,对我们接触到的绝大多数逻辑系统,我们是无法穷尽里面的真命题的。换言之,我们总可以构造出来一个真命题,它没有办法通过公设和演绎规则推导出来。如果感兴趣的话,可以看一下哥德尔不完备性定理。

  你的问题很正确,如果逻辑是对的,那么也只是在逻辑的世界是对的。而逻辑的世界和我们实在的世界是不一样。所以,形式逻辑最大的问题是它没办法解释它自身(他可以像罗素一样通过一些规定来拒绝进行这种运算悖论),但是形式逻辑没办法解决这点。如果它解决了反身悖论那就不再是一个静态的数学世界,是一个动态的世界了,这点形式逻辑是没办法的。

  所以我一直主张啊,说科学这个定义,无不要说是实验科学,哪怕是人文科学,要比数学更接近于科学这个定义。数学这个东西说到底还是一个工具。

  我们假定“知识”是有维度的,且任何一个直接描述人类所见所闻所感的现象或事件的知识是零维的;任何一个知识都能由高一维的知识直接“推理”得到,或由任意一个或几个更高维度的知识“推理”得到。我们把这种从低维度知识到高维度知识的逆向过程称作“抽象”。

  按照人类现今的智力水平明显是不可能完成“发现理论上最高维的知识”的。人类由于自身认识事物手段及思维模式的局限性,只能完成对零维知识的一定程度的抽象。处在当今人类抽象能力极限的知识,就被人类叫做“公理”,这其中包括了“公理”这一词语本身的语义定义,以及人类逻辑学的基石——排中律。

  排中律,简单来说就是:“在同一个参照系中,如果一件事不是对的,那它就是错的。”这一句话高度抽象了人类逻辑推理的机制——人类甚至不经学习就能轻易接受这样的思维方式。

  那么,可不可能存在像量子力学所言“既不对又不错”的状态?如果存在的话,意味着排中律乃至整个人类思维模式的崩塌,也就意味着人类迄今为止所有的科学成果都是错的。

  但是幸好,由于人类自身的局限性,我们很可能无法继续逆向溯源——即我们很可能根本没有能力找到比排中律更高维度的知识。在这样的情况下,尝试否定排中律无疑是徒劳且对人类发展没有帮助的。

  总而言之,答主认为:任何一个世界(包括嵌套的世界)都是由这个世界所能认识的最高维度的知识“直接管辖”的,也就是“公理”。人类处在的这个世界里,排中律目前看来无疑是公理之一。至于题主问“怎么证明”?不好意思,人类恐怕是证明不了了。

  其中2是演绎逻辑,演绎只能保证蕴含关系成立,不保证现实为真,即理性主义。

  而第一步验证,是经验主义,经验主义,相当于是小前提,第二步是大前提,结论是三段论给出的。

  第一步是小前提,第二步是被演绎证明的大前提,通过多次三段论的结果,完全归纳出了结论!

  首先我们要放下所有的逻辑和真假的问题,你只要相信自己是生物,很脆弱的要珍惜,

  “数理逻辑”的“几何实质”就是“集合论(“集合”+“映射”)”,因此,“题主的疑问”可以转化为“如何证明集合论是正确的”?

  逻辑是基于一套抽象规则下的产物。如何证明逻辑是正确的可以转换为如何证明抽象规则是正确的这个问法。那么我们就要看逻辑规则的组成了,简而言之其是由若干无需明的结论和一些特定的「符号」定义比如并交与或非等的组合。所以这里涉及到题主说的正确就是所谓的「符合」定义了。举个例子,为何1+1不等于0而等于2?因为是+的逻辑,你怎么证明+是正确的,这就不能证明了,就如你怎么证明一只鸡和另外一只鸡放在一起后他们的「量」是两只鸡?只能是根据人类直觉本能判断出一只和另外一只放在一起变「多」了。所谓的逻辑本源也就是根据此来定义的。

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