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离散数学教材(胡海涛)第2章_图文

归档日期:07-02       文本归类:蕴含谓词      文章编辑:爱尚语录

  谓词逻辑的基本概念 谓词公式与翻译 变元的约束 谓词演算的等价式与蕴含式 谓词公式范式 谓词演算的推理理论

  止,认为原子命题是不能再分解的,仅仅 研究以原子命题为基本单位的复合命题之 间的逻辑关系和推理。这样,有些推理用 命题逻辑就难以确切地表示出来。例如, 著名的苏格拉底三段论: ? 所有的人都是要死的。 ? 苏格拉底是人。 ? 所以苏格拉底是要死的。

  ,若用命题逻辑来表示,设P、Q和R分别 表示这三个原子命题,P:所有的人都是要 死的,Q:苏格拉底是人,R:苏格拉底是 要死的。则有 ? P,Q?R ? 然而,(P∧Q)→R并不是永真式,故上述推 理形式又是错误的。

  呢?问题就在于这类推理中,各命题之间 的逻辑关系不是体现在原子命题之间,而 是体现在构成原子命题的内部成分之间, 即体现在命题结构的更深层次上。对此, 命题逻辑是无能为力的。所以,在研究某 些推理时,有必要对原子命题作进一步分 析,分析出其中的个体词,谓词和量词, 研究它们的形式结构的逻辑关系、正确的 推理形式和规则,这些正是谓词逻辑的基 本内容。

  述句。从语法上分析,一个陈述句由主语 和谓语两部分组成。在谓词逻辑中,为揭 示同一命题内部结构及不同命题间的内部 结构关系,需要按照这两部分对命题进行 分析,并且把主语部分称为个体或客体, 把谓语部分称为谓词。

  定义2.1 在原子命题中,所描述的对象称为个体 或客体;用以描述个体的性质或个体间关系的部 分,称为谓词。 ? 个体,是指可以独立存在的事物,它可以是具体 的,也可以是抽象的,如张明,计算机,精神等 。表示特定的个体,称为个体常元,以小写字母a ,b,c…或带下标的ai,bi,ci…表示;表示不确 定的个体,称为个体变元,以x,y,z…或xi,yi ,zi…表示。

  谓词,当与一个个体相联系时,它刻画了个体性 质;当与两个或两个以上个体相联系时,它刻画 了个体之间的关系。表示特定谓词,称为谓词常 元,表示不确定的谓词,称为谓词变元,都用大 写英文字母,如P,Q,R,…,或其带上、下标 来表示。在本书中,不对谓词变元作更多讨论。 ? 对于给定的命题,当用表示其个体的小写字母和 表示其谓词的大写字母来表示时,规定把小写字 母写在大写字母右侧的圆括号( )内。

  例如,在命题“张明是位大学生”中,“张明”是个体 ,“是位大学生”是谓词,它刻画了“张明”的性质。 设S:是位大学生,c:张明,则“张明是位大学生 ”可表示为S(c),或者写成S(c):张明是位大学生 。又如,在命题“北京位于沈阳和武汉之间”中, 北京、沈阳和武汉是三个个体,而“…位于…和… 之间”是谓词,它刻画了北京、沈阳和武汉之间的 关系。设P:…位于…和…之间,a:北京,b: 沈阳,c:武汉,则P(a,b,c):北京位于沈阳和 武汉之间。

  定义2.2 一个原子命题用一个谓词(如P)和n个有 次序的个体常元(如a1,a2,…,an)表示成P(a1, a2,…,an),称它为该原子命题的谓词形式或命 题的谓词形式。 ? 应注意的是,命题的谓词形式中的个体出现的次 序影响命题的真值,不得随意变动,否则真值会 有变化。如上述例子中,P(b,a,c)是假。

  原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽象,比 如在谓词右侧的圆括号内的n个个体常元被替换 成个体变元,如x1,x2,…,xn,这样便得了一 种关于命题结构的新表达形式,称之为n元原子 谓词。 ? 定义2.3 由一个谓词(如P)和n个个体变元(如x1, x2,…,xn)组成的P(x1,x2,…,xn),称它为n 元原子谓词或n元命题函数,简称n元谓词。而个 体变元的论述范围,称为个体域或论域。

  当n=1时,称一元谓词;当n=2时,称为二元谓 词,…。特别地,当n=0,称为零元谓词。零元 谓词是命题,这样命题与谓词就得到了统一。 ? n元谓词不是命题,只有其中的个体变元用特定 个体或个体常元替代时,才能成为一个命题。但 个体变元在哪些论域取特定的值,对命题的真值 有很大的影响。例如,令S(x):x是位大学生。若 x的论域为某大学的计算机系中的全体同学,则 S(x)是真的;若x的论域是某中学的全体学生,则 S(x)是假的;若x的论域是某剧场中的观众,且观 众中有大学生也有非大学生,则S(x)的真值是不 确定的。

  通常,把一个n元谓词中的每个个体的论域综合 在一起作为它的论域,称为n元谓词的全总论域 。定义了全总论域,为深入研究命题提供了方便 。当一个命题没有指明论域时,一般都把全总论 域作为其论域。而这时又常常要采用一个谓词如 P(x)来限制个体变元x的取值范围,并把P(x)称为 特性谓词。

  利用n元谓词和它的论域概念,有时还是不能用 符号来准确地表达某些命题,例如S(x)表示x是大 学生,而x的个体域为某单位的职工,那么S(x)可 表示某单位职工都是大学生,也可表示某单位有 一些职工是大学生,为了避免理解上的歧义,在 谓词逻辑中,需要引入用以刻画“所有的”、“存 在一些”等表示不同数量的词,即量词,其定义如 下:

  定义2.4 符号 ? 称为全称量词符,用来表示“所 有的”、“每一个”、“任何一个”、“一切”等词语 ;?x称为全称量词,称x为指导变元。符号 ? 称 为存在量词符,用来表示“存在一些”、 “至少 有一个”、“对于一些”、“某个”等词语;?x称为 存在量词,x称为指导变元。 ? 特别地,将符号 ?! 称为存在惟一量词符,用来表 达“恰有一个”、“存在惟一”等词语;?!x称为存 在惟一量词,称x为指导变元。

  例2.1 试用量词、谓词表示下列命题: ? ① 所有大学生都热爱祖国; ? ② 每个自然数都是实数; ? ③ 一些大学生有远大理想; ? ④ 有的自然数是素数。 ? 解:令 S(x):x是大学生,L(x):x热爱祖国, N(x):x是自然数,R(x):x是实数,I(x):x有远 大理想,P(x):x是素数。

  则上面例子中各命题可分别表示为: ? ① (?x)(S(x)→L(x));② (?x)(N(x)→R(x)); ? ③ (?x)(S(x)∧I(x)); ④ (?x)(N(x)∧P(x))。 ? 在该例的解答中,由于命题中没有指明个体域, 这便意味着各命题是在全总论域中讨论,因而都 使用了特性谓词,如S(x)、N(x)。而且还可以看 出,量词与特性谓词的搭配还有一定规律,即全 称量词后跟一个条件式,而特性谓词作为其前件 出现;存在量词后跟一个合取式,特性谓词作为 一个合取项出现。

  如果在解答时,指明了个体域,便可以不用特性 谓词,例如在①、③中令个体域是全体大学生, ②、④中的个体域是全体自然数,则上例可符号 化为: ? ① (?x)L(x); ② (?x)R(x); ? ③ (?x)I(x); ④ ( ?x ) P ( x ) 。 ? 谓词前加上了量词,称为谓词的量化。若一个谓 词中所有个体变元都量化了,则该谓词就变成了 命题。这是因为在谓词被量化后,可以在整个个 体域中考虑命题的真值了。

  以组合成一些谓词表达式。有了谓词与量 词的概念,谓词表达式所能刻画的日常命 题就能广泛而深入得多了。但是,怎样的 谓词表达式才能成为谓词公式并能进行谓 词演算呢?下面先介绍谓词演算的合式公 式。

  为了方便地处理数学和计算机科学的逻辑问题及 谓词表示的直觉清晰性,引进项的概念。 ? 定义2.5 项由下列规则形成: ? ① 个体常元和个体变元是项; ? ② 若f是n元函数,且t1,t2,…,tn是项,则f(t1 ,t2,…,tn)是项; ? ③ 所有项都是有限次地使用①和②生成。

  有了项的定义,函数的概念就可用来表示个体常 元和个体变元。例如,令f(x,y)表示x+y,谓词 N(x)表示x是自然数,那么f(2,3)表示个体自然 数5,而N(f(2,3))表示5是自然数。这里函数是 就广义而言的,例如P(x):x是教授,f(x):x的 父亲,c:张强,那么P(f(c))就表示“张强的父亲 是教授”这一命题。 ? 函数的使用给谓词表示带来很大方便。例如,用 谓词表示命题:对任意整数x,x2-1=( x + 1)( x -1)是恒等式。令I(x):x是整数,f(x) = x2-1, g(x) =( x + 1)( x -1),E(x,y):x = y,则该 命题可表示成:(?x)( I(x)→E(f(x),g(x)))。

  定义2.6 若P(x1,x2,…,xn)是n元谓词,t1,t2 ,…,tn是项,则称P(t1,t2,…,tn)为原子谓词 公式,简称原子公式。 ? 下面,由原子公式出发,给出谓词演算合式公式 (或合式谓词公式)的归纳定义。 ? 定义2.7 谓词演算的合式公式是由下列规则形成 的符号串: ? ① 原子公式是合式谓词公式; ? ② 若A是合式谓词公式,则(┐A)是合式谓词公式 ;

  ③ 若A,B是合式谓词公式,则(A∧B),(A∨B), (A→B)和(A →← B)都是合式谓词公式; ? ④ 若A是合式谓词公式,x是个体变元,则(?x)A 、(?x)A都是合式谓词公式; ? ⑤ 仅有有限项次使用①、②、③和④形成的才是 合式谓词公式。

  由定义可知,谓词演算的合式公式是按上述规则 由原子公式、联结词、量词、圆括号和逗号所组 成的符号串,而且命题公式是它的一个特例。 ? 以后为使用方便,谓词演算的合式公式为谓词公 式或合式公式;在不引起混淆时,甚至可将谓词 公式的括号同样省略,其规则与命题公式的括号 省略相同,即最外层括号可省略。但是,量词后 面的括号是不能省略的。

  把一个文字叙述的命题,用谓词公式表示出来, 称为谓词逻辑的翻译或符号化;反之亦然。一般 说来,符号化的步骤如下: ? ① 正确理解给定命题。必要时把命题改叙,使其 中每个原子命题及原子命题之间的关系能明显表 达出来。 ? ② 把每个原子命题分解成个体、谓词和量词;在 全总论域中讨论时,要给出特性谓词。 ? ③ 找出恰当量词。应注意全称量词(?x)后跟条件 式,存在量词(?x)后跟合取式。 ? ④ 用恰当的联结词把给定命题表示出来。

  下面举例说明如何用谓词公式表达自然语言中的 一些有关命题。 ? 例2.2 把下列命题符号化: ? ① 张强和李林都是足球运动员。 ? ② 聂平是象棋迷或围棋迷。 ? ③ 李林比张强高。 ? 解:令 F(x):x是足球运动员,C(x):x是象棋迷 ,G(x):x是围棋迷,H(x,y):x比y高,c:张 强,l:李林,n:聂平,则上例可分别符号化为 :① F(c) ∧F(l);② C(n)∨G(n);③ H(l, c)。

  例2.3 将命题“并非每个实数都是有理数”符号化 。 ? 解:令 R(x):x是实数,Q(x):x是有理数,则上 述命题可表示为: ? ┐(?x)(R(x)→Q(x)) ? 本例也可以理解为“有些实数不是有理数”,即 可以符号化为:(?x)( R(x) ∧┐Q(x))。

  例2.5 将命题“没有最大的自然数”符号化。 ? 解:命题中“没有最大的”显然是对所有的自然数 而言,所以可理解为“对所有的x,如果x是自然 数,则一定还有比x大的自然数”,再具体点, 即“对所有的x,如果x是自然数,则一定存在y ,y也是自然数,并且y比x大”。令N(x):x是自 然数,G(x,y):x大于y,则上述命题可表示为 : ? (?x)(N(x)→(?y)(N(y)∧G(y,x)))。

  例2.6 将语句“今天有雨雪,有些人会跌跤”符号 化。 ? 解:本例可理解为“如果今天下雨又下雪,则存 在x,x是人并且x会跌跤”。令 R:今天下雨,S :今天下雪,M(x):x是人,F(x):x会跌跤,则 上述命题可表示为: ? R∧S→(?x) (M(x)∧F(x))。

  例2.7 用谓词表示命题“张强把一本新买到的离散 数学书送给了李林。” ? 解:令 N(x):x是新的,B(x):x是买到的,G(y , z, w):y把z送给了w,c:张强,l:李林, d:离散数学书,则上述命题可表示为:G(c, d , l)∧N(d)∧B(d)。若令P(x):x是新买到的,则 上述命题可表示为:G(c, d, l)∧P(d)。 ? 这里给出了两种不完全相同的符号化形式,表示 了对命题描述的深刻程度不同,前者细微一些, 后者粗糙一些。

  给定一个谓词公式A,其中有一部 分公式形如(?x)P(x)或(?x)P(x),则称它为 A的x约束部分,称P(x)为相应量词的作用 域或辖域。在辖域中,x的所有出现称为约 束出现,x称为约束变元;P中不是约束出 现的其它个体变元的出现称为自由出现, 这些个体变元称自由变元。

  通常,一个量词的辖域是某公式A的一部分,称 为A的子公式。因此,确定一个量词的辖域即是 找出位于该量词之后的相邻接的子公式,具体地 讲: ? ① 若量词后有括号,则括号内的子公式就是该量 词的辖域; ? ② 若量词后无括号,则与量词邻接的子公式为该 量词的辖域。 ? 判定给定公式A中个体变元是约束变元还是自由 变元,关键是要看它在A中是约束出现,还是自 由出现。

  解:① (?x)的辖域是P(x)? Q(x),x是约束变元 。 ? ②(?x)的辖域是(P(x)?(?y)Q(x,y)),(?y)的辖域 是Q(x,y),x,y都是约束变元。 ? ③ (?x)和(?y)的辖域是(P(x,y)∨Q(y,z)),其中 x,y是约束变元,z 是自由变元。(?x)的辖域是 P(x,y),其中x是约束变元,y是自由变元。在整 个公式中,x是约束出现,y既是约束出现又是自 由出现,z 是自由出现。

  从约束变元的概念可以看出,P(x1, x2,…, xn)是n元谓词,它有n个相互独立的自由变元,若 对其中k个变元进行约束,则成为n-k元谓词,因 此,谓词公式中如果没有自由变元出现,则该式 就成为一个命题。例如,(?x)P(x,y,z)是二元 谓词。(?y)(?x)P(x,y,z)是一元谓词。 ? 从上面讨论可以看出,在一公式中,有的个体变 元既可以是约束出现,又可以是自由出现,这就 容易产生混淆。为了避免由于变元的约束与自由 同时出现,引起概念上的混淆,常采用下面两个 规则:

  元名称范围是量词中的指导变元,以及该 量词辖域中所出现的该变元,公式的其余 部分不变。 ? (2)换名时一定要更改为辖域中未曾出现 过的变元名称。

  代入,代入时需对公式中出现该自由变元 的每一处进行。 ? (2)用以代入的变元与原公式中所有变元 的名称不能相同。

  变约束关系,而不同点是: ? ① 施行的对象不同。换名是对约束变元施 行,代入是对自由变元施行。 ? ② 施行的范围不同。换名可以只对公式中 一个量词及其辖域内施行,即只对公式的 一个子公式施行;而代入必须对整个公式 同一个自由变元的所有自由出现同时施行 ,即必须对整个公式施行。

  ③ 施行后的结果不同。换名后,公式含义不变, 因为约束变元只改名为另一个个体变元,约束关 系不改变。约束变元不能改名为个体常元;代入 ,不仅可用另一个个体变元进行代入,并且也可 用个体常元去代入,从而使公式由具有普遍意义 变为仅对该个体常元有意义,即公式的含义改变 了。 ? 需要指出,量词辖域中的约束变元,当论域的元 素是有限时,个体变元的所有可能的取代是可枚 举的。

  右的次序读出。需要注意的是量词次序不 能颠倒,否则将与原命题意义不符。对于 公式中的多个量词,可将量词逐个消去。 例如,若个体域中有两个元素a和b,则 ? (?x)(?y)P(x,y)?(?x)(P(x,a)∨P(x,b)) ? ?(P(a,a)∨P(a,b))∧(P(b,a)∨P(b,b))

  在谓词公式中常包含命题变元和个体变元,当个 体变元由确定的个体所取代,命题变元用确定的 命题所取代时,就称作对谓词公式赋值。一个谓 词公式经过赋值以后,就成为具有确定真值T或F 的命题。 ? 定义2.9 令A和B是谓词逻辑中的公式,设它们有 共同的个体域E,若对A和B的任一组变元进行赋 值,所得命题的真值相同,则称谓词公式A和B在 E上是等价的,并记为A?B。

  定义2.10 给定任意谓词公式A,其个体域为E, 对于A的所有赋值,A都为真,则称A在E上是有 效的,或称A为E上的永线 给定任意谓词公式A,其个体域为E, 如果A在E的所有赋值下都为假,则称A在E上是不 可满足的,或称A为E上的永假式。 ? 定义2.12 给定任意谓词公式A,其个体域为E, 如果A在E的至少一种赋值下为真,则称A在E上是 可满足的,或称A为E上的可满足式。

  由于谓词公式的复杂性和解释的多样性,至今还 没有一个可行的算法判定任何公式的类型。早在 1936年,Churen和Turing各自独立地证明了: 对于谓词公式,其判定问题是不可解的。但是, 谓词公式是个半可判定的,即若谓词公式是永真 式,则存在算法在有限步骤内能验证它。当然, 对于一些较为简单的公式,或某些特殊公式,还 是可以判定其类型的。 ? 由于永真式都是逻辑有效的,故命题逻辑中的等 价式(即命题定律)在谓词逻辑中都成立。下面给 出谓词逻辑中涉及量词的一些等价式和蕴含式, 它们的证明略去了。

  在命题演算中,任一永真公式,其中同一命题变元,用同 一公式取代时,其结果也是永真公式,我们可以把这个情 况推广到谓词公式中,当谓词演算中的公式代替命题演算 中永真公式的变元时,所得的谓词公式即为有效公式,故 命题演算中的等价公式表和蕴含式表都可推广到谓词演算 中使用。例如 (?x)(P(x)→Q(x))? (?x)( ┐P(x)∨Q(x)) (?x)P(x)∨(?y)R(x,y) ?┐( ┐(?x)P(x)∧┐(?y)R(x,y)) (?x) H(x,y)∧┐(?x) H(x,y)?F

  (2)量词转化律 ? 定理2.1 ① ┐(?x)A(x)?(?x)┐A(x) ? ② ┐(?x)A(x)?(?x)┐A(x) ? 为了说明这两个等价式,我们举例讨论。 ? 例2.11 设P(x)表示x今天来校上课,则┐P(x)表 示x今天没有来校上课。 ? 故不是所有的人今天来上课与存在一些人今天没 有来上课在意义上相同,即 ┐(?x)A(x)?(?x)┐A(x)。又,不是存在一些人 今天来上课与所有的人今天都没来上课在意义上 相同,即┐(?x)A(x)?(?x)┐A(x)。

  对于无穷个体域的情况,量词转化律也能作相应 的推广。 ? 可以看到,当我们将量词前面的┐移到量词的后 面去时,存在量词改为全称量词,全称量词改为 存在量词;反之,如将量词后面的┐移到量词的 前面去时,也要作相应的改变,这种量词与┐的 关系是普遍成立的。 ? 对于多重量词前置┐,可反复应用该定理,将┐ 逐次右移,例如,┐(?x)(?y)(?z)P(x,y, z)?(?x)(?y)(?z)┐P(x,y,z)。

  从上述几个式子,我们可以推导出如下几个式子。 定理2.3 ① (?x)(A(x)→B)?(?x)A(x)→B ② (?x)(B→A(x))?B→(?x)A(x) ③ (?x)(A(x)→B)?(?x)A(x)→B ④ (?x)(B→A(x))?B→(?x)A(x) 定理2.2和定理2.3的②,④表明了,若某公式不含有x, 则它可自由出入(?x)或(?x)的辖域,而不影响原公式的线的①,③表明,若某公式不含有x,则它移 入或移出(?x)或(?x)的辖域时,量词要做相应的修改。 当谓词的变元与量词的指导变元不同时,亦能有类似于上 述的公式。例如

  由例2.14可知 (?x)(?y)A(x,y):对于甲村所有的人,乙村都 有人和他同姓。 (?y)(?x)A(x,y):存在一个乙村的人,甲村的 人都和他同姓。 (?y)(?x)A(x,y):对于乙村所有的人,甲村都有人和他同 姓。 (?x)(?y)A(x,y):存在一个甲村的人,乙村的人都和他同 姓。 上述四个语句,表达的情况各不相同,故全称量词与 存在量词在公式中出现的次序,不能随意更换。感兴趣的 读者,可以用这些例子去验证定理2.8。 最后,我们以一个蕴含式的证明来结束本节。

  定义2.13 一个谓词公式,如果量词均在全式的开 头,它们的辖域一直延伸到整个公式的末尾,则 该公式称为前束范式。 ? 前束范式可记为下述形式: ? (Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)A (2.3) ? 其中Qi(1≤i≤k)为量词?或量词?,xi(1≤i≤k)是个 体变元,A为不含有量词的公式。 ? 特别地,若A中无量词,则A也看作是前束范式。

  可见,前束范式的特点是,所有量词均非否定地 出现在公式最前面,且它的辖域一直延伸到公式 之末。例如(?x)(?y)(?z)(Q(x,y)→R(z)), (?y)(?x)( ┐P(x,y)→Q(y))等都是前束范式。 ? 定理2.9 (前束范式存在定理) 任何一个谓词公式 ,都有与之等价的前束范式。 ? 证明:首先利用量词转化公式,把否定深入到命 题变元和谓词原子公式的前面,其次利用 (?x)(A∨B(x))? A∨(?x)B(x)和(?x)(A∧B(x))? A∧(?x)B(x)把量词移到全式的最前面,这样便得 到前束范式。

  前束范式的优点是全部量词集中在公式前面,其 缺点是各量词的排列无一定规则,这样当把一个 公式化归为前束范式时,其表达形式会显现多种 情形,不便应用。1920年斯柯伦(Skolem)对前 束范式中量词出现的次序给出规定:每个存在量 词均在全称量词之前。按此规定得到的范式形式 ,称为斯柯伦范式。显然,任一公式均可化为斯 柯伦范式。它的优点是:全公式按顺序可分为三 部分,公式的所有存在量词、所有全称量词和辖 域。这给谓词逻辑的研究提供了一定的方便。

  谓词演算的推理理论,可以看作是命题演算推理 方法的扩张。因为谓词演算的很多等价式和蕴含 式,是命题演算有关公式的推广,所以命题演算 中的推理规则,如P、T和CP规则等亦可在谓词的 推理理论中应用,但是在谓词推理中,某些前提 与结论可能是受量词限制的,为了使用这些等价 式和蕴含式,必须在推理过程中有消去和添加量 词的规则,以便使谓词演算公式的推理过程可类 似于命题演算中推理理论那样进行。现在介绍如 下规则。

  (2.4) ? 这里A是谓词,而c为论域中任意个体常元。例如 设论域为全体人类,A(x)表示“x总是要死的”, 如果我们有(?x) A(x)即是“所有的人总是要死的 ”,那么应用全称量词消去规则可有结论“苏格 拉底总是要死的”。

  (2.5) ? 这里c为论域中特定的某个个体常元,必须注意, 应用存在量词消去规则,其指定的个体常元c不是 任意的。例如(?x)A(x)和(?x)B(x)都为真,则对于 某些个体常元c和d,可以断定A(c)∧B(d)必定为 真,但不能断定A(c)∧B(c)是线) 全称量词产生规则(简称UG规则)

  (2.6) ? 这个规则是要对命题量化,如果能够证明对论域 中每一个个体常元c断言A(c)都成立,则应用全称 量词产生规则可得到结论(?x) A(x)成立。在应用 本规则时,必须能够证明前提A(c)对论域中每一 个c都是线) 存在量词产生规则(简称EG规则)

  (2.7) ? 这里c为论域中特定的个体常元,这个规则比较明 显,对于某些个体常元c,若A(c)为真,则在论域 中必有(?x)A(x)为真。

  谓词逻辑的推理方法是命题逻辑推理方法的扩展 ,因此在谓词逻辑中利用的推理规则也是T规则 、P规则和CP规则,还有已知的等价式,蕴含式 以及有关量词的消去和产生规则。使用的推理方 法是直接证法和间接证法。下面举例说明。

  所得到的结果(5),表明c既是奇数又是偶数, 显然,这是错误的,原因是在使用ES规则时,指 定的个体常元c只能是某些特定的,而不能是任意 的。 ? 例2.20 试证明下面苏格拉底三段论: ? 所有人都是要死的, ? 苏格拉底是人, ? 因此,苏格拉底是要死的。

  例2.23 每个大学生或者享有奖学金或者交费学习 。每个大学生当且仅当学习评优者享有奖学金。 有些大学生学习被评优,但并非所有大学生学习 都能被评优。因此,有些大学生要交费学习。 ? 解:令 S(x):x是大学生,E(x):x享有奖学金, P(x):x要交费学习,T(x):x学习被评优。本例 可符号化为: ? (?x)(S(x)→(E(x)←∣→P(x))), (?x)(S(x)→(T(x)?E(x))),(?x) (S(x)∧T(x)), ┐(?x)(S(x)→T(x))?(?x)(S(x)∧P(x))

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