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基于四元数向量的机器人运动学逆解研究

归档日期:07-05       文本归类:运动向量      文章编辑:爱尚语录

  研究与开发 基于四元数向量的机器人运动学逆解研究 Research on solution to robotic inverse kinematics based on quaternion-vector 屈健康,徐娅萍,亢海龙,王涛,王雄 QUJian-kang,XUYa-ping,KANGHai-long,WANGTao,WANGXiong (西北工业大学 机电学院,西安710072) 摘要:以齐次变换矩阵为基础,用四元数向量来表示机器人的位姿,提出了机器人运动学逆解的一 种算法。以 SCARA 机器人为实例求解,通过四元数向量运算,得到 8 组解,采用 C 语言编程, 验证了该算法的实用性。 关键词:齐次变换矩阵;四元数向量;逆运动学 中图分类号:TP242 文献标识码:B 文章编号:1009-0134(2009)09-0008-03 0引言 机器人运动学的求解是实现机器人运动轨迹 规划和运动控制的基础。 给定机器人的结构参数和 各关节变量的取值, 求解末端位置和姿态的过程称 为机器人正运动学, 反之称为机器人逆运动学[1]。 目 前, 多采用D-H齐次坐标变换法建立机器人运动学 方程,在此基础上完成机器人正运动学的求解。求 解机器人逆运动学多采用传统的解析法, 但是这种 方法要进行大量的矩阵逆运算, 很难实现实时在线] 控制 。 本文用单位四元数向量来表示机器人的位姿, 介绍了一种机器人逆运动学的新解法。 并以SCARA 机器人为例,通过分析其关节结构,采用 D-H方法 建立了该机器人的坐标系和变换矩阵, 并将其映射 为四元数向量,通过四元数向量的运算推导出了 SCARA机器人逆运动学的解。 通过实验对该算法进 行了验证,表明算法的正确性。 示,其 D-H 参数见表 1。 图 1SCARA 机器人的坐标系统 表 1SCARA 机器人的 D-H 参数 1SCARA 机器人 1.1SCARA 机器人坐标系统 SCARA 机器人具有四个关节,三个旋转关节 轴线相互平行, 实现平面内定位和定向此外, 附加 一个滑动关节, 实现末端件垂直运动。 根据 D-H方 法[1,2] ,设定 SCARA 机器人的坐标系统,如图 1 所 表中, i为关节号, ai 为连杆长度, αi 为连杆的 扭角, di为连杆的偏执量, θi为关节角。 收稿日期:2008-12-04 作者简介:屈健康(1967 -) ,男,工程师,硕士,研究方向为数控机床和工业机器人。 【8】 第 31 卷 第9期 2009-09 1.2机器人坐标变换矩阵 根据D-H坐标变换公式, 连杆坐标系 Oixiyi(i=1, 2,3,4)相对前一个坐标系 Oi-1xi-1yi-1 的 4 × 4 齐次变换 矩阵 Ai 分别为 位四元数 其中, , (5) si 和 ci 分别表示 sinθi 和 cosθi。 2.3机器人位姿的四元数向量表示 本文在单位四元数的基础上引入了既能反映两 个坐标系旋转关系又能反映其平移关系的四元数向 量 Q, , 其中, q=[s,<x,y,z>]是单位四元数, 反映了两个 坐标系的旋转关系, 是三维向量, 反映了两个坐标系在空间中的平移关系。 这样,机器人的坐标变换矩阵 i-1iT 就可以映射 为四元数向量 Qi(i=1,2,3,4)。 类似于四元数, 四元数向量的格拉曼积和转置 分别为: 2基于四元数向量的逆运动学算法 2.1单位四元数及其运算 在坐标系变换中经常采用单位四元数来描述两 个坐标系之间的旋转关系,单位四元数可表示为: (1) 其中, s +x +y +z =1。 四元数具有以下运算性质: 1) 四元数的点积和格拉斯曼积 2 2 2 2 若两个四元数 则它们的点积定义为 格拉斯曼积定义为: (3) 其中, ?和×分别表示向量的点积和叉积。 2) 四元数的共轭和转置 若四元数 则其共轭定义为 其转置定义为 若 q 为单位四元数,则, 。 2.2四元数和旋转矩阵的映射关系 在机器人学中常用旋转矩阵来描述相邻两个连 杆坐标系之间的旋转关系,若该旋转矩阵为: , (4) (2) (6) (7) 2.4算法实现 采用四元数向量来表示机器人位姿后, 机器人 运动学的逆解可以描述为, 已知末端执行器的位姿 四元数向量 A=(w,x,y,z,px,py,pz),求解关节变量 θ1,θ2, d3,θ4。利用四元数向量运算的性质,构造一对四元 数向量: (8) (9) , 则可以将R映射为一个单 计算出Mi和Ni后, 令M1=N1=A, M2=N2, M3=N3, 比较对应元素,可以求解出关节变量。 第 31 卷 第9期 2009-09 【9】 3求解实例 按照式(5)把机器人个关节变换矩阵分别映射为 四元数向量,可以得到各关节的位姿矩阵: (10) (11) (12) (13) 从而, 按照式(7),求出各四元数向量的转置: (14) (15) (16) (17) 根据提出的算法,将 Qi 和 Qi-1 带入式(8),式(9) 得 (18) (19) (20) (21) ci ± j 和 si ± j 分别表示 cos(θi ± θj)和 sin( θi ± θj)。 式中: 按照上面的解, 对机器人进行相应的操作, 均可 获得给定的末端位置姿态, 说明这种算法是实用的。 令 M17=N17 得:d3=h1-pz 令 M21=N21,M22=N22 得: 给定末端位姿 A=[0.416198,-0.157397,0.892539, 0.0763387,298,210,100],根据算法,采用 C 语言编 写程序进行计算,得到八组解: 同理,令 M25=N25,M26=N26 可得: 4结论 以齐次变换矩阵为基础, 用四元数向量来表示 机器人的位姿, 提出了机器人运动学逆解的一种算 法。 以SCARA 机器人为实例求解, 通过四元数向量 运算,得到 8 组解,采用 C 语言程序的计算,验证 了该算法的实用性, 这种基于四元数向量的机器人 位姿表示方法和运动学逆解的算法对于其它工业机 器人具有一定的参考意义。 参考文献: [1]孙树栋.工业机器人技术基础[M].西安:西北工业大学出版 社,2006. [2]孟庆鑫,王晓东.机器人技术基础[M].哈尔滨:哈尔滨工业 大学出版社,2006. [3]程永伦,朱世强,刘国松.基于旋转子矩阵正交的 6R 机器人 运动学逆解研究[J].机器人,2008,30(2):160-164. [4]DGan,QLiao,SWei,JSDai1,andSQiaoDualquaternion- basedinversekinematicsofthegeneralspatial7Rmechanism[J]. JournalofMechanicalEngineeringScience,2008(8):1593-1598. [5]ZhangJinfu.Quaternionalgorithmforcomputingfreedom itemofrobotmanipulatorXibeiGongyeDaxueXuebao/Journal ofNorthwesternPolytechnicalUniversity,1996,(2):100-104. (22) (23) 式中, 令 M15=N15, M16=N16 得 两边平方相加,消去 c1+2,s1+2 得 【10】 第 31 卷 第9期 2009-09

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